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主题:天文算法讨论

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  发帖心情 Post By:2008/5/26 9:33:00

  《天文算法》一书中给出了求各种天文现象发生时刻的方法,不过作者并没有深入讨论算法的效率、简洁性及具体原理。事实书中算法的精度是固定的,不一定满足现代天文计算的要求。
  比如试图把农历的精度计算到30秒,使用《天文算法》一书中的算法将不能实现。本贴讨论高精度的、超高速的算法。
  问题假设:设经度L(t) = Lo + v*t + f(t),对于方程L(t)=W,求t的值。
  式中速度v值较大,f(t)对t求导数也得到速度量dv,如果它相对于v很小,那么:
解法(针对VSOP87或ELP2000-82或MPP02):
(1)第一步,初步确定t的值:
  t1 = (W-Lo)/v
  这样,L的偏差为 dL = L(t1) - W
  那么t1的偏差估计为dt = dL/v
  对t1修正 t2 = t1 + dt
(2)第二步,用第一步的方法重新执行一次,不过计算过程中可以考虑v使用v+dv代替。
(3)第三步,重复第二步计算,但v一定要使用v+dv代替
  注意事项1:计算L(t)时不一定需要完全精度,第一、二步计算时只需计算几个周期项即可。第三步则需多算几个项。如果精度还不满意,则重复第三步
  注意事项2:v的解析式可以使用VSOP87或ELP/MPP02的序列求导数得到,只需考虑速度量较大的几个项即可。
  注意事项3:如果使用DE405/DE406星历表或“瑞士星历表”,可以考虑使用求变差的办法求v+dv。“变差”法,指求相近两个时间的坐标差值,除以时间差后得到速度。
  说明1:以上方法本质上就是《天文算法》中的迭代逼近思想方法。
  说明2:上面讲到的v的运动学本质是“平角速度”,用2*3.1415926535/v得到“平周期”,如地球运动的“平周期”是365.2422天
  说明3:对v+dv的取值还需与截断误差合并分析,这当中涉及“加速度”的分析,将在以后的贴子中讨论。
  说明4:以上所述的是通用方法,对于实际问题,有必要进行更仔细的分析。

计算量:一次精确计算位置坐标的计算量为B,那么该算法的计算量小于1.3*B

算法的极限精度取决于VSOP或ELP/MPP02理论本身


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  发帖心情 Post By:2008/5/26 22:43:00

第(8)贴《农历天文算法完全解——第一部分(分两部分讲述)》
算法本质:迭代技术
  一、日月黄经速度的表达
  (1)地球黄经速度的表达(Date黄道坐标中的速度,含岁差速度)
  以下表达式中t是千年数,误差小于万分之3,数据由VSOP87地球黄经序列求导数得到:
v = 6283.32
    +210  *sin(1.5274 +  6283.07585*t) //误差小于万分3
    +4.4  *sin(1.4845 + 12566.15170*t)
    +12.9*sin( 2.6782 +  6283.07585*t)*t
    +0.55*sin( 1.0721 +  6283.07585*t)*t2;
  (2)月球黄经速度的表达(Date黄道坐标中的速度,不含岁差速度)
  岁差速度远小于月球黄经速度,所以下速度计算忽略了岁差速度。
  平速度是(单位:单位弧度/世纪,式中的t是世经数):
v=8400; //精确值是8399.68473007193
  周期项速度(对ELP/MPP02黄经序列求导数得到)
dv=914*sin( 0.785 +8328.69142*t); //误差5%
dv=914*sin( 0.785 +8328.69142*t)  //误差不超过0.8%
  +179*sin( 2.54 +15542.7543*t )
  +160*sin( 0.19  +7214.0629*t )
  + 62*sin( 3.14 +16657.383 *t )
  + 34*sin( 4.8  +16866.932 *t )
  + 22*sin( 4.9  +23871.45  *t )
  + 12*sin( 2.6  +14914.45  *t );
dv=914*sin( 0.7848 +8328.691425*t+ 1.523*t2 ) //误差小于0.3%
  +179*sin( 2.543  +15542.7543*t )
  +160*sin( 0.1874 + 7214.0629*t )
  +62 *sin( 3.14   +16657.3828*t )
  +34 *sin( 4.827  +16866.9323*t )
  +22 *sin( 4.9    +23871.4457*t )
  +12 *sin( 2.59   +14914.4523*t )
  +7  *sin(0.23    + 6585.7609*t )
  +5  *sin(0.9     +25195.624 *t )
  +5  *sin(2.32    - 7700.3895*t )
  +5  *sin(3.88    + 8956.9934*t )
  +5  *sin(0.49    + 7771.3771*t )
  +4  *sin(5.5     +24986.074 *t )
  +4  *sin(4.3     +22756.817 *t )
  +2  *sin(1       +32200.137 *t )
  +2  *sin(1.9     +14428.126 *t )
  +2  *sin(0.4     +31085.509 *t )
  +2  *sin(1.528   +  628.302 *t );
  dv的值可根据精度的需要从上面表达式中取一种。
  月球真速度为:
v=v-dv;
  (3)月球平黄经与黄经的表达式(ELP/MPP02)
w1 = 3.81034409083
    +8399.68473007193*t
    -3.31895204255e-05*t2
    +3.11024944911e-08*t3
    -2.03282376489e-10*t4
L=w1+周期项+泊松项,由于泊松项较小仅需考虑几项就可以了,除非有高精度计算的需要。
  周期项与泊松项的具体算法待叙。
二、求月球经度为W时所对应的时间
  经度计算函数为 Lon(t,n); t为J2000.0起算的世纪数,t不超过+-30世纪;n为序列截取数量,计算步骤如下:
数据准备,表达式准备:
  to=0;
  v0 = 8400; //平速度
  v1(t) = 8400 + 914*sin(0.785+8328.69142*t); //低精度表达,5%精度
  v2(t) = 中精度速度表达(见上文),0.3%精度
  v = v0
(1)a.余项计算:dW = W - L(to,0)
   b.时间计算:to = to+ dW/v
   c.速度计算:v=v1(to); //为下一次计算准备速度,速度误差5%左右
   以上两行相当于解方程 W=3.81034 +8400*t,解为to = (W - 3.81034)/8400
   to是月球黄经为W是的“平”时间
   to与真时间的差值不超过18小时
   以上计算已经考虑了黄经的常数项(3.81034)和速度项(8400)。因为to的超不超过30,所以平黄经的高次项(加速度项)很小,不超过2度,黄经周期项不超过8度,所以黄经的的高次项及周期项总和不超过10度。因此如果把to再次回代到完整的序列中计算,上述方程最多只有10度(约0.17弧度)的误差:
  W=3.81034 +8400*t+0.17,得to = (W -3.81034 -0.17)/8400,与原来的to比较不难发现,最大误差就是月球运动0.17(即10度)所用的时间,约18小时。这18个小时的误差主要是截断引起的。
(2)a.余项计算:dW = W - Lon(to,3);
   b.时间计算:to=to+dW/v;
   c.速度计算:v=v2(to);  //为下一次计算准备速度,精度为0.3%,如果考虑由于时间不准确引起的额外误差,精度仍可达到0.35%(取0.4%)
   在步骤(1)中已经说到,误差为18小时,我们称之为余项(或称之为截断误差),而本次计算已经截取了3个主要周期项,可修正这18小时的余项。由于速度的精度只有5%,所以残留误差为18*5%=0.9小时。不过,实际误差不止这些,因为本次计算也存在截断误差。
   截断部分误差估计: 把被截断的最大10项的振幅取和作为最大误差估计,以后的项不用算(因为存在正负相消的作用),这10项取和为3000角秒=50角分,对应的最大时间误差为1.7小时。与刚才讨到的0.9小时综合考虑,不妨把误差估计为2小时。
   为什么不把误差估计为0.9+1.7=2.6小时?因为0.9与1.7的误差估计值均指最大误差,出现最大误差的可能性已经很小了,二者同时出现最大值的可能性几乎为0。
   当然,平均误差仅为最大误差的六分之一左右。
   第(1)步与第(2)步计算无需考虑光行时、章动的修正计算,因为误差远超过这些修正量。
(3)a.余项计算:dW = W - Lon(to,21);
   b.时间计算:to = to + dW/v;
   c.无需再计算更精确的速度v
   周期项取21位的理论精度是4',对应的时间误差为8分钟。
   速度不精确引起的误差:2小时*0.004=0.008小时=0.48分钟。
   总误差不妨按8分钟估计。
(4)a.余项计算:dW = W - Lon(to,200);
   b.时间计算:to = to+dW/v;
  计算200项的理论最大误差约2角秒,对应的时间误差为4秒钟
  速度v不精确引起的误差:8分*0.004=0.3秒
  总误差不妨取4秒钟。
  to就是我们最终所需要计算的时间!
(5)如果相要再提高精度,继续计算:
   dW = W - Lon(to,全部);
   to = to+dW/v;
  “全部”计算的精度为5毫角秒,相当于0.01秒
  速度v不精确引起的误差:5秒*0.004=0.02秒
  总误差不妨取0.03秒钟。
  ELP/MPP02在J2000前后几十年内与DE406拟合得很好,差异为0.005角秒以内。
(6)说明:由于都是在邻近的时间内计算,可以认为速度不变(或者说加速度为0)。因为对ELP/MPP02求二次导数,我们发现加速度非常小。为什么会这样呢?其实,周期项的周期最小值为10天左右(个别为5天左右,但振幅非常小),也就是说在10天范围内速度大小才小幅波动一次,在几小时或几分钟内,速度几乎不变。速度大小波动幅度最大的周期项的周期是27.5天左右,它对速度的影响可达10%以上,即便是这种周期项,10小时对速度的影响最多只有:10%*10小时/27.5天 = 0.15%,2小时误差对速度精度的影响为:0.03%
(7)说明2:如果要计算视黄经的,应注意光行差、光行时、岁差、章动修正等。月球光行时约为1.2秒(约修正0.6角秒)。
(8)计算量:以上针对月球的精确到5秒钟(指最大可能的误差为5秒,平均误差不到1秒,标准差约为3秒)的总计算量约为250个周期项的计算量。
  三、地球经度为W时对应的时刻的算法与月球的类似,但迭代次数要少得多。如果考虑了光行差,那么该算法可直接用于计算24节气。
  四、日月距角为W时对应的时刻。方法同上。不同的是把上面的经度换为月球黄与太阳黄经的差值,速度换为月球黄经速度与太阳黄经速度的差。
  距角与月相密切相关,距角为0度对应新月,为90度是半满上弦月,180度是满月。由于章动效果同时影响太阳和月球坐标,所以不用计算章动。当然地球运动引起的恒星光行差是必须计算的,否则无法正确计算出月相,因为几何意上的日月合朔不是光学(视觉)意义上的日月合朔。计算距角时,地球黄经的精度控制在1角秒已足够,因为月球的精度也只控制在2角秒。
  五、这里描述的算法与本人在javascript农历程序中提供的相应算法有所不同:速度提高了4至5倍,精度提高了5倍。
  六、精度是根据程序员的意愿决定的,但受到VSOP87或DE405/406理论的极限精度制约。
  七、如果读者还时一知半解,无法写出相应的程序,本考虑编写具体的程序,以做示范。
  八、ELP/MPP02的黄经起算点与DE405/406星历表有关应变换到J2000黄道坐标中,以免产生0.1秒的时间误差。
  九、VSOP87是早期的理论,存在起点误差以及微小的长期项误差,同样需做订正,订正后,几百年内的误差小于0.5秒。订正方法在前面的贴子中已经讲述。
  十、使用真正的DE405/DE406方法的计算时间,方法同上,只是在计算Lon()时使用DE405/406方法
[此贴子已经被作者于2008-5-27 8:59:26编辑过]


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  发帖心情 Post By:2008/5/27 21:34:00

第(8)贴的改进《农历天文算法完全解——第一部分》
算法本质:迭代技术
  一、日月黄经速度的表达
  (1)地球黄经速度的表达(Date黄道坐标中的速度,含岁差速度)
  以下表达式中t是千年数,误差小于万分之3,数据由VSOP87地球黄经序列求导数得到:
v = 6283.32
    +210  *sin(1.5274 +  6283.07585*t) //误差小于万分3
    +4.4  *sin(1.4845 + 12566.15170*t)
    +12.9*sin( 2.6782 +  6283.07585*t)*t
    +0.55*sin( 1.0721 +  6283.07585*t)*t2;
  (2)月球黄经速度的表达(Date黄道坐标中的速度,不含岁差速度)
  岁差速度远小于月球黄经速度,所以下速度计算忽略了岁差速度。
  平速度是(单位:单位弧度/世纪,式中的t是世经数):v=8399.68473007193
  考虑岁差速度后,应把式中的8399.68473007193换为:8399.68473007193弧度/世纪+5028.79角秒/世纪=8399.70911033384弧度/世纪
  周期项速度(对ELP/MPP02黄经序列求导数得到)
dv=914*sin( 0.785 +8328.69142*t); //误差5%
dv=914*sin( 0.785 +8328.69142*t)  //误差不超过0.8%
  +179*sin( 2.54 +15542.7543*t )
  +160*sin( 0.19  +7214.0629*t )
  + 62*sin( 3.14 +16657.383 *t )
  + 34*sin( 4.8  +16866.932 *t )
  + 22*sin( 4.9  +23871.45  *t )
  + 12*sin( 2.6  +14914.45  *t );
dv=914*sin( 0.7848 +8328.691425*t+ 1.523*t2 /10000) //误差小于0.3%
  +179*sin( 2.543  +15542.7543*t )
  +160*sin( 0.1874 + 7214.0629*t )
  +62 *sin( 3.14   +16657.3828*t )
  +34 *sin( 4.827  +16866.9323*t )
  +22 *sin( 4.9    +23871.4457*t )
  +12 *sin( 2.59   +14914.4523*t )
  +7  *sin(0.23    + 6585.7609*t )
  +5  *sin(0.9     +25195.624 *t )
  +5  *sin(2.32    - 7700.3895*t )
  +5  *sin(3.88    + 8956.9934*t )
  +5  *sin(0.49    + 7771.3771*t )
  +4  *sin(5.5     +24986.074 *t )
  +4  *sin(4.3     +22756.817 *t )
  +2  *sin(1       +32200.137 *t )
  +2  *sin(1.9     +14428.126 *t )
  +2  *sin(0.4     +31085.509 *t )
  +2  *sin(1.528   +  628.302 *t );
  dv的值可根据精度的需要从上面表达式中取一种。
  月球真速度为:v=v-dv;
  (3)月球平黄经与黄经的表达式(ELP/MPP02)
w1 = 3.81034409083
    +8399.68473007193*t
    -3.31895204255e-05*t2
    +3.11024944911e-08*t3
    -2.03282376489e-10*t4
  注意:w1中不含岁差速度
  (4)黄经表达式(相对于Date平分点): L=w1+周期项+泊松项,由于泊松项较小仅需考虑几项就可以了,除非有高精度计算的需要。
  (5)周期项与泊松项的具体算法待叙。

二、求月球经度为W时所对应的时间
  经度计算函数为 Lon(t,n); t为J2000.0起算的世纪数,t不超过+-30世纪;n为序列截取数量,计算步骤如下:
数据准备,表达式准备:
  to=0;
  v0 = 8399.70911033384; //平速度(含岁差速度)
  v1(t) = 速度表达,0.3%精度(见上文)
(1)a.余项计算:dW = W - L(to,0)
   b.时间计算:to = to+ dW/v0
   c.速度计算:v=v1(to); //为下一次计算准备速度,速度误差0.3%左右
   以上两行相当于解方程 W=3.81034 +8399.70911033384*t,解为to = (W - 3.81034)/8399.70911033384
   ▲to是月球黄经为W是的“平”时间,to与真时间的差值不超过18小时
   ▲以上计算已经考虑了黄经的常数项(3.81034)和速度项(8399.70911033384)。因为to不超过30世纪,所以平黄经的高次项(加速度项)很小,不超过2度。而黄经周期项不超过8度,所以黄经的的高次项及周期项总和不超过10度。因此如果把to再次回代到完整的序列中计算,上述方程最多只有10度(约0.17弧度)的误差:
       W=3.81034 +8400*t+0.17,得to = (W -3.81034 -0.17)/8399.70911033384
   与原来的to比较不难发现,最大误差就是月球运动0.17(即10度)所用的时间,约18小时。这18个小时的误差就是截断高次项及周期项引起的。
   ▲其实最后得到的v的最大误差大于0.3%,下文还会讨论到,由于to误差18小时,也将造成v产生0.3%的误差。v的总误差估计为0.6%
   ▲请务必注意,“平速度”的精度要求比“速度”的精度要求要高得多。原因如下:
   t=(W-3.81034)/(v0+dv)=to+dt,式中dv是平速度的误差;利用二项式定理展开后得:
   t=[(W-3.81034)/vo] * (1-*dv/Vo) = to*(1-dv/vo)
   当W很大时(即to很大时):dt = t - to = to*dv/vo,式中dt就是dv引起的时间误差
   设 to=20世纪,dv=1弧度/世纪,我们得到:dt=0.0024世纪=2087小时!而v的相对误差只有dv/v=1/8400=0.012%
   所以“平速度”的精度要求非常高。
   ▲不含岁差的平速度v=8399.68473007193,当然这指的是角速度,那么月亮平周期就是:
     T=2*3.1415926535897933/v=0.00074802632587923106世纪=27.32166155273891天(1世经=36525天),这就是恒星月
    还应注意,月球黄经还有“加速度”项
(2)a.余项计算:dW = W - Lon(to,21);
   b.时间计算:to=to+dW/v;
   在步骤(1)中已经说到,误差为18小时,我们称之为余项(或称之为截断误差),而本次计算已经截取了21个主要周期项,可修正这18小时的余项。由于速度的精度只有0.6%,所以残留误差为18*0.6%小时=7分钟。
   不过,实际误差不止这些,因为本次计算也存在截断误差。
   ▲截断部分误差估计: 把被截断的最大10项的振幅取和作为最大误差估计,以后的项不用算(因为存在正负相消的作用),这10项取和为130角秒,对应的最大时间误差为5分钟。与刚才讨到的7分钟综合考虑,不妨把误差估计为12*0.7=10分钟。
   为什么不把误差估计为7+5=12分钟?因为7与5的均指最大误差,出现最大误差的可能性已经很小了,二者同时出现最大值的可能性几乎为0。
   当然,平均误差仅为最大误差的六分之一左右。
   ▲第(1)步与第(2)步计算无需考虑月球光行时、地球章动的修正计算,因为误差远超过这些修正量。
(3)a.余项计算:dW = W - Lon(to,159);
   b.时间计算:to = to + dW/v;
   周期项取159项的理论精度是3",对应的时间误差为6秒。
   速度不精确引起的误差:10分钟*0.6%=3.6秒,平均误差按1/6计算为0.6秒,不过这个估值比实测值要大许多。
   总误差不妨按 6+0.6=7秒钟 估计。
(4)如果相要再提高精度,继续计算:
   dW = W - Lon(to,全部);
   to = to+dW/v;
  “全部”计算的精度为5毫角秒,相当于0.01秒
  速度v不精确引起的误差:5秒*0.006=0.03秒
  总误差不妨取0.03秒钟。
  ELP/MPP02在J2000前后几十年内与DE406拟合得很好,差异为0.005角秒以内。
(5)说明:由于都是在邻近的时间内计算,可以认为速度不变(或者说加速度为0)。因为对ELP/MPP02求二次导数,我们发现加速度非常小。为什么会这样呢?其实,周期项的周期最小值为10天左右(个别为5天左右,但振幅非常小),也就是说在10天范围内速度大小才小幅波动一次,在几小时或几分钟内,速度几乎不变。速度大小波动幅度最大的周期项的周期是27.5天左右,它对速度的影响可达10%以上,即便是这种周期项,18小时对速度的影响最多只有:10%*18小时/27.5天 = 0.3%,2小时误差对速度精度的影响为:0.03%
(6)说明2:如果要计算视黄经的,应注意光行差、光行时、岁差、章动修正等。月球光行时约为1.2秒(约修正0.6角秒)。
(7)计算量:以上针对月球的精确到7秒钟(指最大可能的误差为7秒,平均误差约1秒,标准差约为3秒)的总计算量约为200个周期项的计算量。
  三、地球经度为W时对应的时刻的算法与月球的类似,但迭代次数要少得多。如果考虑了光行差,那么该算法可直接用于计算24节气。
  四、日月距角为W时对应的时刻。方法同上。不同的是把上面的经度换为月球黄与太阳黄经的差值,速度换为月球黄经速度与太阳黄经速度的差。
  距角与月相密切相关,距角为0度对应新月,为90度是半满上弦月,180度是满月。由于章动效果同时影响太阳和月球坐标,所以不用计算章动。当然地球运动引起的恒星光行差是必须计算的,否则无法正确计算出月相,因为几何意上的日月合朔不是光学(视觉)意义上的日月合朔。计算距角时,地球黄经的精度控制在1角秒已足够,因为月球的精度也只控制在2角秒。
  五、这里描述的算法与本人在javascript农历程序中提供的相应算法有所不同:速度提高了4至5倍,精度提高了5倍。
  六、精度是根据程序员的意愿决定的,但受到VSOP87或DE405/406理论的极限精度制约。
  七、如果读者还时一知半解,无法写出相应的程序,本考虑编写具体的程序,以做示范。
  八、ELP/MPP02的黄经起算点与DE405/406星历表有关应变换到J2000黄道坐标中,以免产生0.1秒的时间误差。
  九、VSOP87是早期的理论,存在起点误差以及微小的长期项误差,同样需做订正,订正后,几百年内的误差小于0.5秒。订正方法在前面的贴子中已经讲述。

[此贴子已经被作者于2008-5-28 7:23:55编辑过]

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xjw01
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  发帖心情 Post By:2008/5/27 21:53:00

第(8)贴的算法实现(测试程)

这是一个超高速的算法,基于ELP/MPP02,最大理论误差7秒,理论平均误差1秒,程序大小8.5k。

请修改程序中的testT,以便计算其它时刻的情形。

本程序未经检验,可能有误,有空的时候我会与《中国天文年历》及“瑞士星历表”比对一下。到时再做报告。

xjw01于十中,2008年5月27日晚编写

<script language=javascript>
rad = 180*3600/Math.PI;
//以下是月球黄经周期项及泊松项,精度3角秒,平均误差0.5角秒
//各坐标均是余弦项,各列单位:角秒,1,1,1e-4,1e-8,1e-8
M_L0=new Array(
22639.59,0.784758,8328.6914246,1.52292,25.07,-0.1236,
4586.44,0.18740,7214.0628654,-2.1848,-18.86,0.083,
2369.91,2.54295,15542.754290,-0.6618,6.2,-0.041,
769.03,3.1403,16657.382849,3.046,50.1,-0.25,
666.42,1.5277,628.301955,-0.027,0.1,-0.01,
411.60,4.8266,16866.932315,-1.280,-1.1,-0.01,
211.66,4.1150,-1114.62856,-3.708,-44,0.21,
205.44,0.2305,6585.76091,-2.158,-19,0.09,
191.96,4.8985,23871.44571,0.861,31,-0.16,
164.73,2.5861,14914.45233,-0.635,6,-0.04,
147.32,5.4553,-7700.38947,-1.550,-25,0.12,
124.99,0.4861,7771.37714,-0.331,3,-0.02,
109.38,3.8832,8956.99338,1.496,25,-0.1,
55.18,5.570,-1324.17803,0.62,7,0,
45.10,0.899,25195.62374,0.24,24,-0.1,
39.53,3.812,-8538.24089,2.80,26,-0.1,
38.43,4.301,22756.81716,-2.85,-13,0,
36.12,5.496,24986.07427,4.57,75,-0.4,
30.77,1.946,14428.1257,-4.37,-38,0.2,
28.40,3.286,7842.3648,-2.21,-19,0.1,
24.36,5.641,16171.0562,-0.69,6,0,
18.58,4.414,-557.3143,-1.85,-22,0.1,
17.95,3.585,8399.6791,-0.36,3,0,
14.53,4.942,23243.1438,0.89,31,-0.2,
14.38,0.971,32200.1371,2.38,56,-0.3,
14.25,5.764,-2.3012,1.52,25,-0.1,
13.90,0.374,31085.5086,-1.32,12,-0.1,
13.19,1.759,-9443.3200,-5.23,-69,0.3,
9.68,3.100,-16029.0809,-3.1,-50,0,
9.37,0.30,24080.9952,-3.5,-20,0,
8.61,4.16,-1742.9305,-3.7,-44,0,
8.45,2.84,16100.0686,1.2,28,0,
8.05,2.63,14286.1504,-0.6,6,0,
7.63,6.24,17285.6848,3.0,50,0,
7.45,1.48,1256.6039,-0.1,0,0,
7.37,0.27,5957.4590,-2.1,-19,0,
7.06,5.67,33.7570,-0.3,-4,0,
6.38,4.78,7004.5134,2.1,32,0,
5.74,2.66,32409.6866,-1.9,5,0,
4.37,4.34,22128.5152,-2.8,-13,0,
4.00,3.25,33524.3152,1.8,49,0,
3.21,2.24,14985.4400,-2.5,-16,0,
2.91,1.71,24499.748,0.8,31,0,
2.73,1.99,13799.824,-4.3,-38,0,
2.57,5.41,-7072.088,-1.6,-25,0,
2.52,3.24,8470.667,-2.2,-19,0,
2.49,4.07,-486.327,-3.7,-44,0,
2.15,5.61,-1952.480,0.6,7,0,
1.98,2.73,39414.200,0.2,37,0,
1.93,1.57,33314.766,6.1,100,0,
1.87,0.42,30457.207,-1.3,12,0,
1.75,2.06,-8886.006,-3.4,-47,0,
1.44,2.39,-695.876,0.6,7,0,
1.37,3.03,-209.549,4.3,51,0,
1.26,5.94,16728.371,1.2,28,0,
1.22,6.17,6656.749,-4.0,-41,0,
1.19,5.87,6099.434,-5.9,-63,0,
1.18,1.01,31571.835,2.4,56,0,
1.16,3.84,9585.295,1.5,25,0,
1.14,5.64,8364.740,-2.2,-19,0,
1.08,1.23,70.988,-1.9,-22,0,
1.06,3.33,40528.829,3.9,81,0,
0.99,5.01,40738.378,0,30,0,
0.95,5.7,-17772.011,-7,-94,0,
0.88,0.3,-0.352,0,0,0,
0.82,3.0,393.021,0,0,0,
0.79,1.8,8326.390,3,50,0,
0.75,5.0,22614.842,1,31,0,
0.74,2.9,8330.993,0,0,0,
0.67,0.7,-24357.772,-5,-75,0,
0.64,1.3,8393.126,-2,-19,0,
0.64,5.9,575.338,0,0,0,
0.64,1.1,23385.119,-3,-13,0,
0.58,5.2,24428.760,3,53,0,
0.58,3.5,-9095.555,1,0,0,
0.57,6.1,29970.880,-5,-32,0,
0.56,3.0,0.329,2,25,0,
0.56,4.0,-17981.561,-2,-43,0,
0.56,0.5,7143.075,0,0,0,
0.55,2.3,25614.376,5,75,0,
0.54,4.2,15752.304,-5,-45,0,
0.49,3.3,-8294.934,-2,-29,0,
0.49,1.7,8362.448,1,21,0,
0.48,1.8,-10071.622,-5,-69,0,
0.45,0.9,15333.205,4,57,0,
0.45,2.1,8311.771,-2,-19,0,
0.43,0.3,23452.693,-3,-20,0,
0.42,4.9,33733.865,-3,0,0,
0.41,1.6,17495.234,-1,0,0,
0.40,1.5,23314.131,-1,9,0,
0.39,2.1,38299.571,-4,-6,0,
0.38,2.7,31781.385,-2,5,0,
0.37,4.8,6376.211,2,32,0,
0.36,3.9,16833.175,-1,0,0,
0.36,5.0,15056.428,-4,-38,0,
0.35,5.2,-8257.704,-3,0,0,
0.34,4.2,157.734,0,0,0,
0.34,2.7,13657.848,-1,0,0,
0.33,5.6,41853.007,3,74,0,
0.32,5.9,-39.815,0,0,0,
0.31,4.4,21500.21,-3,0,0,
0.30,1.3,786.04,0,0,0,
0.30,5.3,-24567.32,0,0,0,
0.30,1.0,5889.88,-2,0,0,
0.29,4.2,-2371.23,-4,0,0,
0.29,3.7,21642.19,-7,-57,0,
0.29,4.1,32828.44,2,56,0,
0.29,3.5,31713.81,-1,0,0,
0.29,5.4,-33.78,0,0,0,
0.28,6.0,-16.92,-4,0,0,
0.28,2.8,38785.90,0,0,0,
0.27,5.3,15613.74,-3,0,0,
0.26,4.0,25823.93,0,0,0,
0.25,0.6,24638.31,-2,0,0,
0.25,1.3,6447.20,0,0,0,
0.25,0.9,141.98,-4,0,0,
0.25,0.3,5329.16,-2,0,0,
0.25,0.1,36.05,-4,0,0,
0.23,2.3,14357.14,-2,0,0,
0.23,5.2,2.63,0,0,0,
0.22,5.1,47742.89,2,63,0,
0.21,2.1,6638.72,-2,0,0,
0.20,4.4,39623.75,-4,0,0,
0.19,2.1,588.49,0,0,0,
0.19,3.1,-15400.78,-3,-50,0,
0.19,5.6,16799.36,-1,0,0,
0.18,3.9,1150.68,0,0,0,
0.18,1.6,7178.01,2,0,0,
0.18,2.6,8328.34,2,0,0,
0.18,2.1,8329.04,2,0,0,
0.18,3.2,-9652.87,-1,0,0,
0.18,1.7,-8815.02,-5,-69,0,
0.18,5.7,550.76,0,0,0,
0.17,2.1,31295.06,-6,0,0,
0.17,1.2,7211.76,-1,0,0,
0.16,4.5,14967.42,-1,0,0,
0.16,3.6,15540.45,1,0,0,
0.16,4.2,522.37,0,0,0,
0.16,4.6,15545.06,-2,0,0,
0.16,0.5,6428.02,-2,0,0,
0.16,2.0,13171.52,-4,0,0,
0.16,2.3,7216.36,-4,0,0,
0.15,5.6,7935.67,2,0,0,
0.15,0.5,29828.90,-1,0,0,
0.15,1.2,-0.71,0,0,0,
0.15,1.4,23942.43,-1,0,0,
0.14,2.8,7753.35,2,0,0,
0.14,2.1,7213.71,-2,0,0,
0.14,1.4,7214.42,-2,0,0,
0.14,4.5,-1185.62,-2,0,0,
0.14,3.0,8000.10,-2,0,0,
0.13,2.8,14756.71,-1,0,0,
0.13,5.0,6821.04,-2,0,0,
0.13,6.0,-17214.70,-5,-72,0,
0.13,5.3,8721.71,2,0,0,
0.13,4.5,46628.26,-2,0,0,
0.13,5.9,7149.63,2,0,0,
0.12,1.1,49067.07,1,55,0,
0.12,2.9,15471.77,1,0,0);

M_L1=new Array(
1.677,4.669,628.30196,-0.03,0,0,
0.516,3.372,6585.7609,-2.16,-19,0.1,
0.414,5.728,14914.4523,-0.64,6,0,
0.371,3.969,7700.3895,1.55,25,0,
0.276,0.74,8956.9934,1.5,25,0,
0.246,4.23,-2.3012,1.5,25,0,
0.071,0.14,7842.365,-2.2,-19,0,
0.061,2.50,16171.056,-0.7,6,0,
0.045,0.44,8399.679,-0.4,0,0,
0.040,5.77,14286.150,-0.6,6,0,
0.037,4.63,1256.604,-0.1,0,0,
0.037,3.42,5957.459,-2.1,-19,0,
0.036,1.80,23243.144,0.9,31,0,
0.024,0,16029.081,3,50,0,
0.022,1.0,-1742.931,-4,-44,0,
0.019,3.1,17285.685,3,50,0,
0.017,1.3,0.329,2,25,0,
0.014,0.3,8326.390,3,50,0,
0.013,4.0,7072.088,2,25,0,
0.013,4.4,8330.993,0,0,0,
0.013,0.1,8470.667,-2,-19,0,
0.011,1.2,22128.515,-3,0,0,
0.011,2.5,15542.754,-1,0,0,
0.008,0.2,7214.06,-2,0,0,
0.007,4.9,24499.75,1,0,0,
0.007,5.1,13799.82,-4,0,0,
0.006,0.9,-486.33,-4,0,0,
0.006,0.7,9585.30,1,0,0,
0.006,4.1,8328.34,2,0,0,
0.006,0.6,8329.04,2,0,0,
0.005,2.5,-1952.48,1,0,0,
0.005,2.9,-0.71,0,0,0,
0.005,3.6,30457.21,-1,0,0);

M_L2=new Array(
0.0049,4.67,628.3020,0,0,0,
0.0023,2.67,-2.301,1.5,25,0,
0.0015,3.37,6585.761,-2.2,-19,0,
0.0012,5.73,14914.452,-0.6,6,0,
0.0011,3.97,7700.389,2,25,0,
0.0008,0.7,8956.993,1,25,0);

function Mnn(F,t,t2,t3,t4,n){ //计算M_L0或M_L1或M_L2
  n = Math.floor(n * F.length / M_L0.length+0.5)*6; //项数是以周期项为基准,n是周期项的计算项数
  if(n>F.length) n=F.length;
  var i,v=0; t2/=1e4,t3/=1e8,t4/=1e8;
  for(i=0;i<n;i+=6)
    v+=F[i]*Math.cos(F[i+1] +t*F[i+2] +t2*F[i+3] +t3*F[i+4] +t4*F[i+5]);
  return v;
}
function moonLon(t,n){ //月球经度计算,返回Date分点黄经,传入世纪数
  if(n==-1) n = Math.floor(M_L0.length/6+0.1);
  var t2=t*t, t3=t2*t, t4=t3*t, t5=t4*t;
  var v =  Mnn( M_L0, t,t2,t3,t4, n );
      v += Mnn( M_L1, t,t2,t3,t4, n )*t;
      v += Mnn( M_L2, t,t2,t3,t4, n )*t2;
  var w = 3.81034409 + 8399.684730072*t -3.319e-05*t2 + 3.11e-08*t3 - 2.033e-10*t4; //月球平黄经
  var p =5028.792262*t + 1.1124406*t2 + 0.00007699*t3 - 0.000023479*t4 -0.0000000178*t5; //岁差
  return w + (v+p)/rad;
}

function moonV(t,jing){ //月球速度计算,传入世经数
  var v=8399.70911033384;
  if(jing==0) return v;
  v-=914*Math.sin( 0.7848 +8328.691425*t+ 1.523*t*t/10000 );
  if(jing==1) return v;                    //误差小于5%
  v-=179*Math.sin( 2.543  +15542.7543*t )  //误差小于0.3%
    +160*Math.sin( 0.1874 + 7214.0629*t )
    +62 *Math.sin( 3.14   +16657.3828*t )
    +34 *Math.sin( 4.827  +16866.9323*t )
    +22 *Math.sin( 4.9    +23871.4457*t )
    +12 *Math.sin( 2.59   +14914.4523*t )
    +7  *Math.sin(0.23    + 6585.7609*t )
    +5  *Math.sin(0.9     +25195.624 *t )
    +5  *Math.sin(2.32    - 7700.3895*t )
    +5  *Math.sin(3.88    + 8956.9934*t )
    +5  *Math.sin(0.49    + 7771.3771*t )
    +4  *Math.sin(5.5     +24986.074 *t )
    +4  *Math.sin(4.3     +22756.817 *t )
    +2  *Math.sin(1       +32200.137 *t )
    +2  *Math.sin(1.9     +14428.126 *t )
    +2  *Math.sin(0.4     +31085.509 *t )
    +2  *Math.sin(1.528   +  628.302 *t );
   return v;
}

function moon_t(W){ //已知黄经求时间
  var t,dW,v= 8399.70911033384;
  t  = ( W - 3.81034       )/v;  v=moonV(t,2);   //v的精度0.6%,详见原文
  t += ( W - moonLon(t,20) )/v;
  t += ( W - moonLon(t,159))/v;
  return t;
}

testT=30;  //世纪数
L=moonLon(testT,-1); //正算
t=moon_t(L); //反算
dt=(testT-t)*35625*86400;

document.write("高速迭代法求指定Date平分点黄经的发生时刻。测试如下:<br>");
document.write("正算时间T=" + testT + "(世纪) 时的黄经是:" + L + "(弧度)<br>");
document.write("反算黄经L=" + L +     "(弧度) 时的时间是:" + t + "(世纪)<br>");
document.write("迭代误差(不是实际误差):" +dt +"秒<br>");

</script>


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为了能够与《中国天文年历》比对,我们须把以上程序中的月球坐标转换为视坐标

这时我们应处理光行差及章动

月球光行差问题
我们已讨论过精密的光行差计算,但是,在农历计算中根本无需精密计算,以下考虑简化计算。
  从ELP的中序列截取5%精度的距离及速速表达式:
    日月距离:r=385001 +20905*sin( 0.7848 +8328.691425*t+ 1.523*t*t/10000 ); //最大误差2%
    黄经速度:v=8400   -  914*sin( 0.7848 +8328.691425*t+ 1.523*t*t/10000 ); //最大误差5%
  为了求证方便,令:
    r0=385001,v0=8400
    φ= 0.7848 +8328.691425*t+ 1.523*t*t/10000
    dr= 20905*sin(φ)
    dv=   914*sin(φ)
    光速:c=300000千米/秒=9.467E14千米/世纪
  那么有:r = r0+dr;v = v0+dv;τ= r/c; (式中τ光行时)
  光行期间黄经的变化量:
    dL=v*τ=v*r/c,代入得:
    dL = (v0+dv)*(r0+dr)/c = (v0*r0/c)*(1+dv/v+dr/r) (略去二阶小量)
    dL = (3.416E-6弧度)*(1+(20905/385001-914/8400)*sin(φ))
       = (0.7角秒)*(1-0.055*sin(φ))
  结论:月球的黄经光行差约为0.7角秒(最大误差16%),如果考虑上式中的周期,最大误差5%

以下关于章动,取自IAU1980,最大误差不超过0.1角秒
function nutation(t){ //章动计算,t为世纪数,返回值为角秒单位
 var c, dL=0,dE=0, t2=t*t, y0=-17.20-0.01742*t;
 c= 2.1824    -33.75705*t +36e-6*t2; dL =  y0  *Math.sin(c); dE = 9.20*Math.cos(c);
 c= 3.5069  +1256.66393*t +11e-6*t2; dL+= -1.32*Math.sin(c); dE+= 0.57*Math.cos(c);
 c= 1.3375 +16799.4182*t  -51e-6*t2; dL+= -0.23*Math.sin(c); dE+= 0.10*Math.cos(c);
 c= 4.3649    -67.5141*t  +72e-6*t2; dL+=  0.21*Math.sin(c); dE+=-0.09*Math.cos(c);
 c= 0.04   -628.302*t;  dL+= -0.14*Math.sin(c);
 c= 2.36  +8328.691*t;  dL+=  0.07*Math.sin(c);
 c= 3.46  +1884.966*t;  dL+= -0.05*Math.sin(c); dE+= 0.02*Math.cos(c);
 c= 5.44 +16833.175*t;  dL+= -0.04*Math.sin(c); dE+= 0.02*Math.cos(c);
 c= 3.69 +25128.110*t;  dL+= -0.03*Math.sin(c);
 c= 3.55   +628.362*t;  dL+=  0.02*Math.sin(c);
 this.dL=dL;  //黄经章动
 this.dE=dE;  //交角章动
}


调用方法:nu = new nutation(testT);

那么:nu.dL为黄经章动,nu.dE为交角章动


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  发帖心情 Post By:2008/5/28 11:09:00

/*

我们修改第八贴的测试程序的末尾部分,以便能够与《天文年历》比对

*/

rad = 180*3600/Math.PI;
function rad2mrad(v){   //对超过0-2PI的角度转为0-2PI
  v=v % (2*Math.PI);
  if(v<0) return v+2*Math.PI;
  return v;
}
function rad2str(d,tim){ //将弧度转为字串
 //tim=0输出格式示例: -23°59' 48.23"
 //tim=1输出格式示例:  18h 29m 44.52s
 var s="+";
 var w1="°",w2="’",w3="”";
 if(d<0)  d=-d,s='-';
 if(tim){ d*=12/Math.PI; w1="h ",w2="m ",w3="s "; }
 else     d*=180/Math.PI;
 var a=Math.floor(d); d=(d-a)*60;
 var b=Math.floor(d); d=(d-b)*60;
 var c=Math.floor(d); d=(d-c)*100;
 d=Math.floor(d+0.5);
 if(d>=100) d-=100, c++;
 if(c>=60)  c-=60,  b++;
 if(b>=60)  b-=60,  a++;
 a="   "+a, b="0"+b, c="0"+c, d="0"+d;
 s+=a.substr(a.length-3,3)+w1;
 s+=b.substr(b.length-2,2)+w2;
 s+=c.substr(c.length-2,2)+".";
 s+=d.substr(d.length-2,2)+w3;
 return s;
}


testT=0.08+(1-1.5)/36525;  //世纪数
L=moonLon(testT,-1); //正算
t=moon_t(L); //反算
dt=(testT-t)*35625*86400;

document.write("高速迭代法求指定Date平分点黄经的发生时刻。测试如下:<br>");
document.write("正算时间T=" + testT + "(世纪) 时的黄经是:" + L + "(度)<br>");
document.write("反算黄经L=" + L +     "(度) 时的时间是:" + t + "(世纪)<br>");
document.write("迭代误差(不是实际误差):" +dt +"秒<br>");


//以下是视位置计算
function nutation(t){ //章动计算,t为世纪数,返回值为角秒单位
 var c, dL=0,dE=0, t2=t*t, y0=-17.20-0.01742*t;
 c= 2.1824    -33.75705*t +36e-6*t2; dL =  y0  *Math.sin(c); dE = 9.20*Math.cos(c);
 c= 3.5069  +1256.66393*t +11e-6*t2; dL+= -1.32*Math.sin(c); dE+= 0.57*Math.cos(c);
 c= 1.3375 +16799.4182*t  -51e-6*t2; dL+= -0.23*Math.sin(c); dE+= 0.10*Math.cos(c);
 c= 4.3649    -67.5141*t  +72e-6*t2; dL+=  0.21*Math.sin(c); dE+=-0.09*Math.cos(c);
 c= 0.04   -628.302*t;  dL+= -0.14*Math.sin(c);
 c= 2.36  +8328.691*t;  dL+=  0.07*Math.sin(c);
 c= 3.46  +1884.966*t;  dL+= -0.05*Math.sin(c); dE+= 0.02*Math.cos(c);
 c= 5.44 +16833.175*t;  dL+= -0.04*Math.sin(c); dE+= 0.02*Math.cos(c);
 c= 3.69 +25128.110*t;  dL+= -0.03*Math.sin(c);
 c= 3.55   +628.362*t;  dL+=  0.02*Math.sin(c);
 this.dL=dL;  //黄经章动
 this.dE=dE;  //交角章动
}


nu=new nutation(testT);
L2=rad2mrad(L+nu.dL/rad-0.7/rad); //补章动与光行差
Ls=rad2str(L2,0);
document.write("视黄经:" + Ls+"<br>");

 

测试结果如下:

随机插出几个月球视黄经数据进行比较

2008年01月01日0h TD
+197°19' 24.43" 中国天文年历
+197°19’24.91" 本程序

2008年01月06日0h TD
+256°54' 36.32" 中国天文年历
+256°54' 36.11" 本程序

2008年01月18日0h TD
+ 56°04' 29.83" 中国天文年历
+ 56°04' 29.68" 本程序

2100年01月01日0h TD
+157°24' 01.183" 瑞士星历表
+157°24' 01.96"  本程序

2100年01月18日0h TD
+ 22°14' 39.400" 瑞士星历表
+ 22°14' 40.47"  本程序

2200年01月02日0h TD
 +108°26' 45.916" 瑞士星历表
 +108°26’46.12"  本程序

 

[此贴子已经被作者于2008-5-28 15:29:01编辑过]

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  发帖心情 Post By:2008/5/28 11:20:00

  我们不难发现,误差与精密星历相差无几,黄经误差在0.5"左右,对应的时应误差为1秒左右。

  不过,请务必注意,这只是平均误差,误差分析表明,最大可能误差是3"左右,对应的时间误差是6秒左右。

  如果用标准差表达误差,误差大约为3秒左右。

  这已足已证明它是个精确的月历程序,程序不到10k


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  发帖心情 Post By:2008/5/29 12:35:00

通过年的天干地支可以推导月的天干地支,知道日的天干地支就可以知道时的天干地支了,请问:怎样知道日的天干地支?

谢谢!


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  发帖心情 Post By:2008/5/29 20:57:00

错误订正:

前面的贴子中的“地球速度”计算有误,请更正如下:

  (1)地球黄经速度的表达(Date黄道坐标中的速度,含岁差速度)
  以下表达式中t是千年数,误差小于万分之3,数据由VSOP87地球黄经序列求导数得到:
v = 6283.32  //误差小于万分3
  +210 *Math.sin(1.527+f)
  +4.4 *Math.sin(1.48+f*2)
  +12.9*Math.sin(5.82+f)*t
  +0.55*Math.sin(4.21+f)*t*t;
式中f=6283.07585*t;


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  发帖心情 Post By:2008/5/29 22:00:00

第(8)贴继续

十、地球黄经为W时对应的时间to的求解
v(t) = 6283.32  //误差小于万分3
  +210 *Math.sin(1.527+f)
  +4.4 *Math.sin(1.48+f*2)
  +12.9*Math.sin(5.82+f)*t
  +0.55*Math.sin(4.21+f)*t*t;
式中f=6283.07585*t;
(1)解方程 W = Lon(t) = a+v*t-dW
  方程右边是地球黄经表达式,a是它的常数项,v是黄经速度,dW是黄经的高次项(t的1次方以上的)和周期项,称dW为方程的余项。
  因dW较小,所以先忽略dW,解得“平”时间:
  to = (W - a)/v = (W-1.753469512)/6283.319653318
  v = v(to)
  ▲to是地球黄经为W是的“平”时间,to与真时间的差值不超过48小时
  ▲余项引起的误差:或余项已知,to回代到原方程,得t = (W-a+dW)/v = to+dW/v
  显然dW/v就是to的误差值。
  把to代入余项的表达式就可得到余项的值。
  此外,也可以Lon()函数觉察到余项:Lon(to,10) = a+v*to - dW = W + dW,即dW = W-Lon(to,10)
  ▲因为to不超过6儒略千年,所以平黄经的高次项引起的余项不超过1度,黄经周期项不超过2度,合计余项最多3度。地球每天运动1度左右,所以to最大误差3天。
  v(t)求导得最大可能的加速度为(3.6弧度/千年)/天,如果to误差3天,那么v(t)算得的v值误差为3.6*3=10弧度/千年。
  这样,v的相对误差为 10/6283=0.17%
(2)在步骤(1)留下的主要余项:dW = W-Lon(to,10);
   那么修正to为:
   to = to+ (W-Lon(to,10)) / v;
   ▲to的最大误差由v及Lon()函数的截断误差引起的。
   v引起的最大可能误差为 3天*0.17% = 7分钟
   Lon(to,10)截断误差为17角秒,地球每分钟运动2.5角秒,所以to误差7分钟左右。
   合误差可以估计为10分钟(以上两个误差同时发生最大值的可能性非常小,所以误差不必取7+7=14分钟)。
(3)执行to = to +(W-Lon(to,120)) /v;
   v引起的误差为(这就是最后的迭代误差): 10分钟*0.17%=1秒,平均误差应小于0.15秒
   Lon(to,120)的截断误差是0.25角秒,对应时间误差为6秒。


 


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