已知公历日期快速估算农历日期

作者：谭笑风

为方便叙述，首先介绍两个函数
高斯函数：y＝[x]，[x]表示不超过数x的最大整数，
求余数函数：f(x)=xmodt，表示x除以t后所得的余数（即mod表示余数运算）
且被除数x=除数t*商+余数，所以有x=t*[x/t]+xmodt

实际中每个公历回归年比没有闰月的农历年多出约一个朔望月的7/19，
即多出29.5306*7/19≈11(天)，即每年春节日期都要提前11天左右，
如遇到前一年有闰月，则春节会比前一年推迟19天左右，
这个规律可以用下式来解析，设公元y年的春节日期约为f(y)
f(y)≡19y(mod30)，这样y增加1，则f(y)增加19或减少11，不会超过30。
≡是数论中表示同余的符号，mod30的意思是指在用30作模数（除数），
在19个回归年中加7个闰月后，公历和农历只差0.0892天(2个小时左右)，
积累到200年左右才差一天，可见19这个周期非常精确，
即每隔19年的春节日期大致相同，可把年份除以19求余数来简化计算
即公元y年的春节日期约为f(y)≡19*ymod19≡19*(y-19*[y/19])(mod30)。

虽然实际上春节公历日期的范围是在1月21日和2月20日之间，
且一个朔望月是29.5306天，大月小月排列不固定，
但为了找出规律，不妨假设某年（平年）农历正月初一在公历1月1日，
再假设该年农历第一个月30天，第二个月29天，第三个月30天，……
这样大小月依次间隔排开，平均每个月29.5天，跟29.5306相比近似程度还可以。

由假设知1月1日是正月初一，所以1月几号便是正月几号，31号为二月初一，
继续推知2月1日是二月初二，要算2月几号农历日期，需在公历日期上加1，
除以29之后求余数，所得数即为农历日期，余数为0是农历廿九日，
继续推知3月1日是初一，要算3月几号农历日期，需在公历日期上加0，
除以30之后求余数，所得数即为农历日期，余数为0是农历三十日，
依次下去，要算某月几号农历日期，
分别在日期上加1，2，3，4，5，7，7，9，9，在此称之为“月余数”
然后分别除以29，30，29，30，29，30，29，30，29之后求余数，
所得数即为农历日期。
此假设中按30，29间隔作除数，实际中大月小月排列不固定，
所以实际中每个月用29或30作模（除数）并不固定，
所以假设中按30，29间隔作模用到实际当中就会有误差，
毕竟都是有误差，为了计算方便，还是统一取30为模为好。
由此得到所假设的的这一年估算某日农历日期的方法：
把某月的日期按月分别加上0，1，0，1，2，3，4，5，7，7，9，9。
然后除以30，求得余数即为农历大致日期，余数为0是农历三十日。
这里m月的月余数f(m)可以近似用下面的解析式来表达：
f(m)≈(m-3+|m-3|)/2+[m/9]，|x|和[x]分别表示绝对值和取整。

先设公历日期为d，农历大致日期为f(y,m,d)，容易得出，
如果春节在1月份(月余数为0)
f(y,m,d)≡月余数-春节日期+公历日期+1≡f(m)-f(y)+d+1(mod30)
如果春节在2月份(月余数为1)
f(y,m,d)≡月余数-春节日期+公历日期≡f(m)-f(y)+d(mod30)
可见，春节在1月份比在2月份估算农历日期时多加了一个1，
实际的情况是有2/3的年份春节在2月份，1/3的年份春节在1月份，
为了使形式简洁便于计算并照顾大多数情况(况且一直是估算)，统一取
f(y,m,d)≡f(m)-f(y)+d(mod30)，同时也不必考虑闰年多出的一天。

最终结论：
设f(y,m,d)是公元y元m月d日的农历大致日期，f(y,m,d)=0时日期为三十日左右
f(y,m,d)≡f(m)-f(y)+d(mod30)
f(y,m,d)≡f(m)-19*ymod19+d(mod30)
f(y,m,d)≡11*ymod19+f(m)+d(mod30)
f(y,m,d)≈11*(y-19*[y/19])+(m-3+|m-3|)/2+[m/9]+d(mod30)
（从另一种角度去考虑，一般公历每年比农历每年多出11天，
所以在f(m)+d的基础上要加上余数乘以年数的积11*ymod19。）
最终算出的结果与实际日期相差一般都不超过一天，农历月份一般为公历月份减去一。

把以上结论说得通俗一点就是：
估算公元某年某月某日的农历日期，先把把公历年份y除以19后求得余数，
把这个余数乘以11后用30除求得余数称之为“年余数”；
再把每个月对应的一个数字，这个数字称之为“月余数”，
1至12月份所对应的数字分别是0，1，0，1，2，3，4，5，7，7，9，9；
最后把所求这一日的“日期数”加上月份对应的“月余数”再加上“年余数”，
求得这三个数字的和，用30除求余数，所得余数便是这一天农历的大致日期，
余数为0时则是农历三十左右。

举个例子，估算1949年10月1日的农历日期，年份1949除以19余数为11，
余数11乘以11得121，用30除得年余数为1；10月对应的“月余数”为7；
“日期数”+“月余数”+“年余数”=1+7+1=9，除以30之后所得余数为6，
所以1949年10月1日大概是农历初九左右。
算起来很简单吧？查历书知1949年10月1日实际是初十，和算的结果相比就差一天，
查历书知再隔38年的1987年10月1日就是初九，看来这方法还是管点用的！

对不起，暂时还没有时间写，过几天再贴出来