有关农历的一些估算

作者：谭笑风

1.每年什么时候过春节？（即算每年春节的公历日期）

通过查历书，我归纳出的估算方法如下：
把公历年份y除以19后求得余数a，再把a乘以19得19a，再除以30求余数b，余数b即为过春节的大致公历日期，与实际日期相差一般不超过一天。
计算公式为f(y)≡19*(y-19*[y/19])(mod30)，[y/19]表示y/19的商的整数部分
注：春节的公历日期的范围是闭区间1月21日到2月20日，
如果得到b=21,则春节可能在1月21日，1月22日，或2月20日；
如果得到b=20,则春节可能在2月19日，2月20日，或1月21日。
举两个例子，
例如当y=2005时,2005/19=105…10，所以a=10, 19a/30=190/30=6…10，所以b=10,即春节在2月10日左右,实际2005年春节是在2月9日,只差一天；
例如当y=2006时,a=11,b=29,即春节在1月29日左右,实际2006年春节就是在1月29日。
 
再找找这其中的原理：一个公历回归年有365.2422天，一个农历朔望月有29.5306天，365.2422/29.5306的渐进分数是12+1/3，12+2/5，12+7/19，……这里12+7/19是一个比较精确的渐进分数，就是说每个公历回归年比没有闰月的农历年多出约一个朔望月的7/19，所以每19年就多出约7个朔望月，这就是3年1闰，5年2闰，19年7闰的由来，在19个回归年中加7个闰月后，公历和农历只差0.0892天(2个小时左右)，积累到200年左右才差一天，可见非常精确，所以我把19作为计算周期（把年份除以19求余数的依据）。另外，29.5306*7/19约等于11，就是说每年的春节日期都要提前11天左右，如遇到前一年有闰月，则推迟19天左右，所以要把余数a乘以19得19a，再除以30求得余数b，这样a增加1，则b增加19或减少11，不会超过30。
注意：我这里19a中用的因子19以及除以30求得余数中的模30是为了方便计算，实际上更精确一点的因子和模应该分别是29.5306*12/19和29.5306，不过这样算结果也不是特别精确的，因为19年7闰中19这个周期是近似的，把公历年份y除以19后求余数a这样做其实还是近似计算。因此为了计算方便，还是取整数为好。

2.有关闰月

24节气中，立春是节(节气)，雨水是气(中气)，惊蛰是节，春分是气，依次间隔类推，农历中的闰月一定是有节无气的月，如2004年闰二月中只有清明一个节，农历月份中有气无节不闰，有节无气不一定闰。一个农历年中有两个月同时满足有节无气的情况也存在，如公元2033年，该年农历第八个月和第十二个月都是有节无气的月份。

通过查历书，我归纳出估算闰月的方法如下（有效期上下200年之内）：
把公历年份y除以19后求得余数a，
则当a等于下列数时，该年一定闰月
0，3，6， 8或9，11，14，17.
所对应的闰几月，设闰m月，则m大致对应如下（m与实际值最多相差正负1）
8，6，4，10或2， 7， 5， 3.(记个位，记忆口诀：0369147，8642753.)
当a=8时,m=10,闰九月或闰十月，也可能这一年不闰月，那就要等到下一年，即a=9时,m=2,闰二月或闰三月，2004年就是a=9(闰二月)这种情况。
试着找找这其中的原理：每个公历回归年(365.2422天)比没有闰月的农历年(29.5306*12=354.3672天)多出10.875天，即每12个朔望月多出10.875/29.5306个朔望月，所以每32.5855 (12*29.5306/10.875)个朔望月多出1个朔望月，就是说农历大约每隔2年零9个月就要闰一个月，这跟我归纳出的算法有点偏差，所以还不能作为算法的原理。实际上两个闰月之间的间隔不是平均的，也许跟月相和地球公转有关罢。

一般闰月的范围是闭区间闰二月到闰十月，我查过上下二百年的历书，没有发现闰腊月的情况。地球绕太阳运行的轨道是个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。一年间，地球和太阳的距离时近时远。地球离太阳远时，是公历6月左右，运动慢，所以两个中气的间隔长，最长超过31天。按之前平均30.5天的长度算，月份中没有中气的可能性大，所以闰五月机会多。公历12月左右，地球运动快，中气间隔短，最短时只有29天多一点，比农历一个月还短，所以十一月没有中气的可能性小，理论上闰十一月是最少的。
有一个例外情况，就是公元2033年是闰七月还是闰十一月或是2034年闰正月，这有些争议，参看
http://bbs.guoxue.com/dist/o_t/t_167191/start_0/index.html
（1）安排闰七月的大致理由是：先闰后不闰，当年无中气的月份首先出现于七月，就先不就后安排为闰七月是理当所然的。
（2）安排闰十一月的大致理由：2033年中的第八个月，第十二个月和第十四个月都没有中气，没有先闰七月而闰十一月，是因为现行农历是定冬至所在月为十一月，上一年的冬至月（农历11月）和本年的冬至月（农历11月）决定农历年的长度；2032年农历11月至2033年农历11月之间有12个月，所以就不闰七月了。而2033年农历11月和2034年农历11月有13个月，而在2033年冬至后的第一个无中气之月恰好是2033年的第十二个月，所以就定为闰11月了，因为已经闰了11月就不再闰2034年正月了。
（3）安排闰正月的大致理由：如果严格用定气和无中气置闰的规则，则该闰2034年正月。

3.有关农历大小月

通过查历书我归纳出：一般是每隔98个农历月，月大月小的情况几乎完全相同，比如说，农历这个月是29天，再过98个月几乎还是这样，但不是严格遵守。各位朋友可以查万年历验证一下。
我对此作的解释是：已知一个朔望月的天数是29.5306，而0.5306的渐进分数分别是1/2，2/3，8/15，9/17，26/49，867/1634……其中的一个渐进分数26/49=46/98，所以98也是一个比较精确的近似周期。

2033年是采用闰七月还是闰十一月，可能要十几年后才能确定。