以地球中心为原点O,赤道所在平面为XY平面,东经120度指向西经60度为Y轴正方向.球心指向北极为Z轴正方向.有了Y轴与Z轴就可定X轴的方向(从东经30度指向西经150度)

球面方程:X^2 + Y^2 + Z^2 = 1 (设地球直径为1)

日出日落时刻圈(即晨昏圈)方程:Y^2 + Z'^2 = 1  (Z'以Z轴作坐标变换,见下面)

Z'=Z*sin(β+90)                (β为太阳光直射点纬度)

求纬度α度时日出时刻.先解出纬度为α度时的X,Y坐标.

X=sinα*sin(β+90)*cos(β+90)/(cosβ*cosβ)=sinα/tg(β+90)

Y=-SQRT(1-X^2-sinα*sinα)  (SQRT为平方根)

有了XY坐标,求反正切,得出一个角度值(由于在XY平面内,0度在X轴正向,实际的东经120度在Y轴负方向上,即270度角.所以要换算一下,才能得出经度差)

实算一下:代入杭州的纬度为30.15度,夏至日时,太阳直射点纬度为23.4333度.

算出X=-0.21835,Y=-0.83578,反正切得出-104.64度.计算时假设杭州在Y轴负方向上(即270度或-90度).两者之间相差14.64度,换成时间就是58.56分钟.

(计算出的14.64度的含义是指,夏至日那天,当赤道上(北纬0度)东经120度的地方看到日出时,北纬30.15度,东经(120-14.64)度的地方也正好看到日出.)

(换句话说:当赤道上东经120度的地方看到日出时,北纬30.15度东经120度的地方日出已经过去58.56分钟了.由于赤道上是昼夜等分的(假设太阳是个点光源),即日出时刻一定在6:00.那么同一经度的北纬30.15度地方,日出时间是5:01:26左右.杭州东经120度10分.比120度还早了40秒钟.所以日出时间为5:00:46)

查寿星万年历,杭州在夏至日的日出时间为4:58:07,日落时间19:04:07.